«Детских» признаков делимости на 3 и на 9, как вы уже могли убедиться, маловато для , связанных с делимостью целых и натуральных чисел, но еще более «детскими» являются признаки делимости на 4, 8 и 25, а несколько более сложный признак делимости на 11 очень прост и полезен в применении - вы это также видели.

Признак делимости на 4 состоит в том, что

натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4

Этот признак вполне очевиден - если отбросить от заданного числа его две последние цифры, т.е. разбить его на соответствующие два слагаемых, то первое слагаемое будет оканчиваться на два нуля, т.е. делиться на 100 , а значит, и на 4, и поэтому все зависит от второго, двузначного слагаемого.

Точно так же очевиден и аналогичный признак делимости на 8 :

натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, состоящее из трех его последних цифр, делится на 8

Для его доказательства достаточно отбросить эти три цифры и заметить, что 1000 делится на 8.

Признак делимости на 11 можно сформулировать следующим образом:

натуральное число делится на 11 в том и только в том случае, когда на 11 делится разность между суммой его цифр, стоящих на четных местах, и суммой его цифр, стоящих на нечетных местах.

Проще всего его можно доказать (и даже придумать, вывести) с помощью сравнений (естественно, по модулю 11). Правда, тут возникает одна трудность эвристического характера: надо догадаться, что степень числа 10 с нечетным показателем плюс единица делится на 11.

Догадавшись же, доказать это совсем просто даже на «детском» уровне: $10^n=999…99+1=999…90+9 + 1=999…90+10$, и при нечетном n в первом слагаемом правой части число девяток четно, т.е. это слагаемое делится на 11. Можно сослаться и на формулу суммы нечетных степеней , а еще проще заметить, что $10\equiv-1 (mod 11)$, так что 10 в нечетной степени тождества сравнимо с -1, т.е. 10 2 k -1 делится на 11.

Проведем доказательство: так как $10\equiv-1 (mod 11)$, то при четном n $10^n\equiv1$, а при нечетном n $10^n\equiv-1$, и поэтому $c=a_{0}\times10^k+a_{1}\times10^{k-1}+a_{2}\times10^{k-2}+…+a_{k-1}\times10+a_{k}\equiv a_{k}-a_{k-1}-a_{k-2}-a_{k-3}+…+a_1\times(-1)^{k-1}+a_{0}\times(-1)^k$ множитель $(-1)^k$ обеспечивает здесь нужное чередование знаков, и показатель степени подобран так, чтобы при четном k последнее слагаемое $a_{0}\times(-1)^k$ совпадало с а 0 . Выражение, стоящее в правой части этого равенства, и есть разность между суммой s цифр, стоящих в числе с на четных и на нечетных местах. Ее удобно называть знакочередующейся суммой цифр числа с .

Мы доказали в результате, что с-s=0, т.е. число с и знакочередующаяся сумма его цифр в при делении на 11 дают одинаковые остатки, и мы получили более сильное утверждение, чем требовалось.

Признак делимости на 11 можно доказать, конечно, и без использования метода сравнений - как с применением формулы суммы нечетных степеней, так и не опираясь на «тяжелую артиллерию» алгебры.

Но и «азбучные» признаки делимости на 3 и на 9 на самом деле нуждаются в уточнении, и их можно формулировать примерно так:

натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3

И то же самое касается признака делимости на 9. В такой формулировке подчеркивается, что если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3.

С точки зрения решения задач еще более важно, что из этих признаков, строго говоря, можно узнать только делится или не делится данное число соответственно на 3 и на 9. Но для решения многих, в том числе и весьма несложных задач совершенно необходимы их обобщения, аналогично тому, что мы имели при рассмотрении числа 11: как и в этом случае, равны соответствующие остатки, т.е.

остаток от деления числа на 3 совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3; остаток от деления числа на 9 совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 9.

Эти утверждения почти доказаны в 5-м классе - достаточно повторить проведенные там рассуждения и добавить к ним, что разность между числом и суммой его цифр делится на 3 и на 9, т.е. соответствующие остатки совпадают.

Ясно, что аналогичные утверждения верны и для признаков для 4 и 8.

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3 . В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3 , а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3 . Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 3, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 3 : целое число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3 , если же сумма цифр данного числа не делится на 3 , то и само число не делится на 3 .

Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять . Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех на 3 делятся числа 3 , 6 и 9 , а числа 1 , 2 , 4 , 5 , 7 и 8 – не делятся на 3 .

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3 . Выясним, делится ли на 3 число −42 . Для этого вычисляем сумму цифр числа −42 , она равна 4+2=6 . Так как 6 делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число −42 делится на 3 . А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8 , а 8 не делится на 3 .

А делится ли на 3 число 0 ? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости , которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3 .

В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3 , к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3 , вычислим его сумму цифр: 3+9=12 . А чтобы узнать, делится ли 12 на 3 , находим сумму цифр числа 12 , имеем 1+2=3 . Так как мы получили число 3 , которое делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3 . Следовательно, 39 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 12 , а 12 делится на 3 . Наконец, 907 333 812 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 39 , а 39 делится на 3 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205 ?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19 . В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10 , а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1 . Так как мы получили число 1 , которое не делится на 3 , из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3 . Поэтому 19 не делится на 3 , так как сумма его цифр равна 10 , а 10 не делится на 3 . Следовательно, исходное число −543 205 не делится на 3 , так как сумма его цифр, равная 19 , не делится на 3 .

Ответ:

Нет.

Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3 . В последнем примере, 543 205 на 3 , мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3 , откуда можно было бы сказать, что и −543 205 не делится на 3 .

Доказательство признака делимости на 3

Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a . Любое натуральное число a мы можем , после чего позволяет получить представление вида , где a n , a n−1 , …, a 0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .

Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1 , 100=99+1=33·3+1 , 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.

Подставив в равенство a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и так далее выражения 3·3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.

И позволяют полученное равенство переписать так:

Выражение есть сумма цифр числа a . Обозначим ее для краткости и удобства буквой А , то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида , которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3 .

Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3 , для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a 0 , a 1 , …, a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, А делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3 , да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.

Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3 , то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.

Иногда реализовать такой подход позволяет . Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n ?

Решение.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим . Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет . Разберем его применение при решении примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3 .

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции.

При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3 .

Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k , то есть, делится на 3 .

Учитывая, что делится на 3 , покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3 , то есть, покажем, что делится на 3 .

Проведем некоторые преобразования:

Выражение делится на 3 и выражение делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .

Так методом математической индукции доказана делимость на 3 при любом натуральном n .

Покажем еще один подход к доказательству делимости на 3 . Если показать, что при n=3·m , n=3·m+1 и n=3·m+2 , где m – произвольное целое число, значение некоторого выражения (с переменной n ) делится на 3 , то это будет доказывать делимость выражения на 3 при любом целом n . Рассмотрим этот подход при решении предыдущего примера.

Таким образом, при любом натуральном n делится на 3 .

Ответ:

Да.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2 , так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2 , так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например:
471 — делится на 3 , так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3;
532 — не делится на 3 , так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Например:
4576 — делится на 4 , так как число 76 (7·2+6=20) делится на 4;
9634 — не делится на 4 , так как число 34 (3·2+4=10) не делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Например:
375, 5680, 233575 — делятся на 5 , так как их последняя цифра равна 0 или 5;
9634, 452, 389753 — не делятся на 5 , так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например:
462, 3456, 24642 — делятся на 6 , так как они делятся одновременно и на 2 и на 3;
6 , так как 861 не делится на 2, 3458 не делится на 3, 34681 не делится на 2.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 , если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

Например:

Число 296492
Берем последнюю цифру "2", удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "5", удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "4", удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "7", удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Например:

952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например:
468, 4788, 69759 — делятся на 9 , так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9 , так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например:
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10 , так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10 , так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11.

Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Признак делимости на 13

Признак 1: Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся и

Признак 2: Число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17.

Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимости на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например: 510 делится на 30, а 678 - нет.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.

Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.

Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.

Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Практическая значимость : материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 - 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Глава I. Определение и свойства делимости чисел

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.

Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.

Свойства делимости:

Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.

Нуль делится на любое b, не равное нулю.

Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.

Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.

3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.

4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой кореньчисла» . Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Глава II. Признаки делимости натуральных чисел.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

Делимость на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная.

Делимость на 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)

Делимость на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).

Делимость на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

Делимость на 10 . Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнал другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

Деление на 6 . Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)

Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.

Деление на 4 и на 25. Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 11 . Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11 (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 30 .

Признак делимости на 59 . Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.

Признак делимости на 79 . Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.

Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.

Признак делимости на 100 . На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули.

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение 1)

2.3 Признаки делимости на 7.

1) Возьмем для испы-тания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 3 3 *5 + З 2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Этот признак ме-нее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый резуль-тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.

5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить. Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма де-лится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Признак Паскаля.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623-1662), французский математик и физик. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в , то и число а делится на в ». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос. Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(остатки от деления на 7).

В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)

Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и - 1. А при т =7 коэффициенты получились сложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедился, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 10 23 коэффициенты повторяются), 43 (с 10 39 коэффициенты повторяются).

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа - когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа - когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа - когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

Экспериментальная часть

Опрос

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?

Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?

Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают - 9%, затруднились ответить - 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» - 17% респондентов и затруднились ответить - 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» - 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:

изучен теоретический материал по данному вопросу;

кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнал, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.;

3) изучен признак Паскаля - универсальный признак делимости на любое натуральное число;

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик паскаль Блез и опубликовал его в своем трактате «О характере делимости чисел». С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Список использованных источников

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Элиста.: Джангар, 1995. - 416 с.

Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. - М.: Оникс, 1995. - 496 с.

Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. - 176с.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.

Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. - 289с.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.

Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.

Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.

http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

http://www.bymath.net (энциклопедия).

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

	Признак	Пример
	Число заканчивается на чётную цифру.	………………2(4,6,8,0)
	Сумма цифр делится на 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Число из двух последних его цифр нули или делится на 4.	………………12
	Число заканчивается на цифру 5 или 0.	………………0(5)
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.	375018: 8-четное число 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Три его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 8.	……………..064
	Сумма его цифр числа делится на 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Число оканчивается на ноль	………………..0
	Сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.	2+1+6=9, 9:3 и 16:4
	Число десятков данного числа, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Число заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	364: 4 - четное число 36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Число 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Четыре его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 16.	…………..0032
	Число десятков данного числа, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.	2034: 4 - четное число
	Число десятков данного числа, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19	64 + (6 × 2) = 76,
	Число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная	…………………40
	Число, состоящее из двух последних цифр делится на 25	…………….75
	Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.	……………..360
	Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.	Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.
	Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79..	Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79
	Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).	Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
на 125	Число, состоящее из трех последних цифр делится на 125	……………375