Целые числа - это натуральные числа , а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N , которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n . Множество целых чисел обозначают Z .

Сумма , разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Натуральные числа еще называются положительными целыми числами , т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа - это (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть ({}) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры : (1,2,3,4...+ ∞).

Операции над целыми числами.

1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

Пример:

(+2) + (+5) = +7.

2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

Пример:

(-2) + (+5) = +3.

3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (-) - если разного.

Пример:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

Пример:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 неположительных сомножителя).

4. Деление целых чисел.

Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, - если разные.

Пример:

(-12) : (+6) = -2.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2 ). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c .

Свойство	сложение	умножение
замкнутость	a + b — целое	a × b — целое
ассоциативность	a + (b + c ) = (a + b ) + c	a × (b × c ) = (a × b ) × c
коммутативность	a + b = b + a	a × b = b × a
существование нейтрального элемента	a + 0 = a	a × 1 = a
существование противоположного элемента	a + (−a ) = 0	a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения	a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c )

Из таблицы можно сделать вывод, что Z - это коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения.

Стандартное деление не существует на множестве целых чисел, но есть т.н деление с остатком : для всяких целых a и b , b≠0 , есть один набор целых чисел q и r , что a = bq + r и 0≤r<|b| , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b . Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7 °C тепла. Если температура понизится на 4 °C, то термометр будет показывать 3 °C тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, 7 °C.

Если температура понизится на 7 °C, то термометр будет показывать 0 °C. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если же температура понизится на 8 °C, то термометр покажет -1 °C (1 °C мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа - значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

1) Делю сразу на, так как оба числа 100% делятся на:

2) Разделю на оставшиеся большие числа (и), так как и без остатка делятся на (при этом, раскладывать не буду - он и так общий делитель):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Оставлю и в покое и начну рассматривать числа и. Оба числа точно делятся на (заканчиваются на четные цифры (в таком случае представляем как, а можно разделить на)):

4) Работаем с числами и. Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

5) Как мы видим, мы были правы: у и общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить.
НОД

Задача №2. Найти НОД чисел 345 и 324

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

Точно, НОД, а я изначально не проверила признак делимости на, и, возможно, не пришлось бы делать столько действий.

Но ты-то проверил, верно?

Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК) - экономит время, помогает решить задачи нестандартно

Допустим, у тебя есть два числа - и. Какое существует самое маленькое число, которое делится и без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? :

В данном случае.

Из этого простого примера вытекает несколько правил.

Правила быстрого нахождения НОК

Правило 1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным.

Найди у следующих чисел:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы - , и.

Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.

Например, НОК (7;14;21) не равно 21, так как не делится без остатка на.

Правило 2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.

Найди НОК у следующих чисел:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

Посчитал? Вот ответы - , ; .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

Потренируемся?

Найдем наименьшее общее кратное - НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

Почему я сразу написал?

Вспомни признаки делимости на: делится на (последняя цифра - четная) и сумма цифр делится на.

Соответственно, можем сразу разделить на, записав ее как.

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение - второе:

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

Заметь: мы выписали все кроме, так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

Найди наименьшее общее кратное (НОК) самостоятельно

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК ? Мое время - 2 минуты, правда я знаю одну хитрость , которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются и.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК ), мы можем найти НОК (или НОД ) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

Попробуй найти НОД , если известно, что:

Справился? .

Отрицательные числа - «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

Казалось бы, что в них такого особенного?

А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание».

Действительно, из вычесть - вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми.

Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция - светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии.

Как ты думаешь, с чем связано это признание?

Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу).

Считалось, что отрицательные числа - это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие.

Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи - это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)).

Так, в XVII веке Паскаль считал что.

Как думаешь, чем он это обосновывал?

Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО».

Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом - минусом «-». И правда: . Число « » положительное, которое вычитается из, или отрицательное, которое суммируется к?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму (или) чисел) в 1831 году поставил точку.

Он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют землекопа, нельзя купить билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике - особенное число.

С первого взгляда, это ничто: прибавить, отнять - ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число будет в раз больше изначального.

Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная.

След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего».

Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто - ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа).

Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » - составляющая числа.

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф.

Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Краткое изложение раздела и основные формулы

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

• натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
• числа, противоположные натуральным;
• ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, и т.д.).
2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
3. Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4. Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

Теперь я хочу слышать тебя...

Надюсь ты оценил супер-полезные "трюки" этого раздела и понял как они помогут тебе на экзамене.

И что более важно - в жизни. Я об этом не говорю, но, поверь, этот так. Умение быстро и без ошибок считать спасает во многих жизненных ситуациях.

Теперь твой ход!

Напиши, будешь ли ты применять методы группировки, признаки делимости, НОД и НОК в расчетах?

Может быть ты применял их ранее? Где и как?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях как тебе статья.

И удачи на экзаменах!

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

1. a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N .

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J .

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R .

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.